יחס קיבולי החום

בפיזיקה תרמית ותרמודינמיקה, יחס קיבולי החום הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע ($C_{P}$) לקיבול החום בנפח קבוע ($C_{V}$) ומסומן באות היוונית $\gamma$ (גמא).

יחס קיבולי החום חשוב עבור יישומים בתהליכים תרמודינמיים הפיכים, במיוחד כאלו המערבים גזים אידיאליים ובין היתר הוא משפיע גם על מהירות הקול.

לגודל פיזיקלי זה כינויים נוספים ובהם: אינדקס אדיאבטי, יחס החומים הסגוליים, קבוע פואסון או מקדם ההתפשטות האיזנטרופית (עבור גז אידיאלי או $\kappa$ (קאפה), המעריך האיזנטרופי לגז אידיאלי).

יחס קיבולי החום עבור מגוון גזים

טמפרטורה	גז	γ	טמפרטורה	גז	γ	טמפרטורה	גז	γ
−181 °C	H2	1.597	200 °C	Dry air	1.398	20 °C	NO	1.400
−76 °C		1.453	400 °C		1.393	20 °C	N2O	1.310
20 °C		1.410	1000 °C		1.365	−181 °C	N2	1.470
100 °C		1.404	15 °C		1.404
400 °C		1.387	0 °C	CO2	1.310	20 °C	Cl2	1.340
1000 °C		1.358	20 °C		1.300	−115 °C	CH4	1.410
2000 °C		1.318	100 °C		1.281	−74 °C		1.350
20 °C	He	1.660	400 °C		1.235	20 °C		1.320
20 °C	H2O	1.330	1000 °C		1.195	15 °C	NH3	1.310
100 °C		1.324	20 °C	CO	1.400	19 °C	Ne	1.640
200 °C		1.310	−181 °C	O2	1.450	19 °C	Xe	1.660
−180 °C	Ar	1.760	−76 °C		1.415	19 °C	Kr	1.680
20 °C		1.670	20 °C		1.400	15 °C	SO2	1.290
0 °C	Dry air	1.403	100 °C		1.399	360 °C	Hg	1.670
20 °C		1.400	200 °C		1.397	15 °C	C2H6	1.220
100 °C		1.401	400 °C		1.394	16 °C	C3H8	1.130

הגדרה פיזיקלית

$\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$

כאשר $C$ הוא קיבול החום, ו- $c$ הוא קיבול החום הסגולי (קיבול חום ליחידת מסה) של גז. הסיומות P ו - V מתייחסות לתנאי לחץ מתמיד ונפח קבוע בהתאמה.

על מנת להבין קשר זה, נבצע ניסוי מחשבתי. בוכנה פניאומטית סגורה מכילה אוויר. הבוכנה נעולה והלחץ הפנימי הוא לחץ אטמוספירי. הבוכנה מחוממת עד להגעה לטמפרטורת יעד. הבוכנה מקובעת ולכן הנפח קבוע. הטמפרטורה והלחץ עולים. כאשר מתבצעת הגעה לטמפרטורת היעד, החימום נעצר. כמות האנרגיה המושקעת בתהליך היא $E=C_{V}\Delta T$, כאשר $\Delta T$ מייצג את השינוי בטמפרטורה. כעת הבוכנה משוחררת ונעה כלפי חוץ, עוצרת רק כאשר הלחץ בתוך התא מגיע ללחץ אטמוספירי. אנו מניחים כי ההתפשטות מתרחשת ללא חילוף חום עם הסביבה מחוצה לבוכנה, כלומר התפשטות אדיאבטית. בעת ביצוע העבודה, אוויר בתוך הבוכנה יתקרר מתחת לטמפרטורת היעד. חזרה לטמפרטורת היעד (כאשר הבוכנה עדיין משוחררת לנוע בחופשיות) דורשת חימום של האוויר, אשר אינו נמצא עוד בנפח קבוע, משום שהבוכנה נעה בחופשיות כאשר הגז מחומם. בדוגמה לעיל, התהליך מתרחש בלחץ חיצוני קבוע ולכן כמות החום המתווספת למערכת בלחץ קבוע היא פרופורציונלית ל -$C_{P}$. התהליך הנ"ל מתרחש באוויר (גז דו אטומי) ולכן יחסי קיבולי החום הוא $\gamma =1.4$.

דרך נוספת להבין את ההבדל בין $C_{P}$ ו - $C_{V}$ היא כאשר  $C_{P}$ חל אם העבודה נעשית על המערכת, אשר גורם לשינוי בנפח (כגון על ידי הזזת הבוכנה כדי לדחוס את התוכן שבתוך התא הסגור), או אם העבודה נעשית על ידי המערכת, אשר משנה את הטמפרטורה שלה (כגון חימום גז הנמצא בבוכנה על מנת לגרום לבוכנה לנוע). $C_{V}$ חל רק אם $PdV$ – כלומר, העבודה המתבצעת, היא אפס. נבחין בהבדל בין הוספת חום לגז כאשר הבוכנה מקובעת להוספת חום כאשר הבוכנה חופשית לנוע, כך שהלחץ החיצוני נשאר קבוע. במקרה השני, הגז יתחמם, יתפשט ויגרום לבוכנה לבצע עבודה מכנית על הסביבה. החום המתווסף לגז עובר רק בחלקו לחימומו ואילו השאר מומר לביצוע עבודה מכנית על ידי הבוכנה. בתהליך הראשון, בנפח קבוע ובוכנה מקובעת אין תזוזה חיצונית ולכן אין עבודה מכנית המבוצעת על הסביבה, יתבצע שימוש ב- $C_{V}$. במקרה השני, עבודה נוספת מתבצעת על ידי שינוי הנפח ולכן כמות החום הנדרשת כדי להעלות את טמפרטורת הגז (קיבול החום הסגולי) גבוהה יותר עבור מקרה של לחץ קבוע.

קשרי גז אידיאלי

עבור גז אידיאלי, קיבול החום קבוע עם הטמפרטורה. בהתאם לכך, אנו יכולים לבטא את האנתלפיה כ- $H=C_{P}\Delta T$ ואת האנרגיה הפנימית כ- $U=C_{V}\Delta T$. לכן, ניתן להתייחס ליחס קיבולי החום כיחס בין האנתלפיה לאנרגיה הפנימית:

$\gamma ={\frac {H}{U}}\,$

יתר על כן, את קיבולי החום ניתן לבטא במונחים של יחס קיבולי החום $(\gamma )$  וקבוע הגזים $(R)$:

$C_{P}={\frac {\gamma nR}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{and}}\qquad C_{V}={\frac {nR}{\gamma -1}}\,$

מולקולות אשר עוברות תנודות פנימיות אופייניות. אנרגיה פוטנציאלית המאוחסנת בדרגות החופש הפנימיות תורמת להגדלת קיבול החום הסגולי, כאשר הטמפרטורה מספיק גבוהות מספיק כדי להתגבר על ההשפעות הקוונטיות

כאשר $n$ הוא כמות החומר במולים.

נוסחת מאייר מאפשרת להסיק את הערך של $C_{V}$ מטבלאות מוכרות המאגדות את ערכי  $C_{P}$:

$C_{V}=C_{P}-nR\,$

קשרים עם דרגות חופש

יחס קיבולי החום $(\gamma )$ עבור גז אידיאלי יכול להיות קשור לדרגות חופש $(f)$ של מולקולה על ידי

$\gamma =1+{\frac {2}{f}}\quad {\text{or}}\quad f={\frac {2}{\gamma -1}}$
לפיכך אנו צופים כי עבור גז חד - אטומי, עם 3 דרגות חופש:

$\gamma ={\frac {5}{3}}=1.6666\ldots$

כאשר עבור גז דו - אטומי, עם 5 דרגות חופש (בטמפרטורת החדר: 3 translational ו-2 מחזורי דרגות חופש;  דרגת החופש של רטט אינה מעורבת, חוץ מבטמפרטורות גבוהות):

$\gamma ={\frac {7}{5}}=1.4$

לדוגמה, אוויר אשר בעיקר מורכב מגזים דו-אטומיים (כ-78% חנקן ($N_{2}$) ו-21% חמצן ($O_{2}$), בתנאים סטנדרטיים הנ"ל יכול להיחשב כגז אידיאלי. הערך $\gamma =1.4$ מאוד עקבי עם מדידות אדיאבטיות עבור אוויר יבש בטווח טמפרטורות של $0-200^{\circ }C$ ומציג סטייה של רק $0.2\%$.

קשרי גז אמיתי

ככל שהטמפרטורה עולה, מצבים עתירי אנרגיה סיבובית ורטט נהפכים לנגישים לגזים מולקולריים. לכן חלה עלייה במספר דרגות החופש וירידת ערכו של $\gamma$.

עבור גז אמיתי,  $C_{P}$ ו -$C_{V}$ מתגברים עם עליית הטמפרטורה. הם נבדלים זה מזה על ידי קבוע (כאמור לעיל, $C_{V}=C_{P}-nR\,$), אשר משקף את הקבוע היחסי $PdV$, אשר מייצג את ההבדל בעבודה הנעשית במהלך התפשטות בלחץ קבוע לעומת תנאי נפח קבוע. לפיכך, היחס בין שני הערכים, $\gamma$, יורד עם עליית הטמפרטורה.

ביטויים תרמודינמיים

ערכים מבוססי קירובים (במיוחד $C_{V}=C_{P}-nR\,$) הם במקרים רבים לא מספיק מדויקים לטובת חישובים הנדסיים מעשיים, כגון זרימה דרך צינורות ושסתומים. ערך ניסיוני אמור לשמש במקום הקירוב הנ"ל, כאשר הדבר אפשרי . ערך מחמיר  ליחס ${\frac {C_{P}}{C_{V}}}$ יכול להיות מחושב על ידי חילוץ $C_{V}$ לפי נוסחת מאייר:

$C_{P}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}=-T{\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}^{2}}{\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}}$

בחומר פשוט, במהלך תהליך אדיאבטי שבו הנפח עולה, סך האנרגיה הפנימית של החומר מבצע העבודה חייב לקטון.

ערכי $C_{P}$ זמינים לקריאה ומתועדים, אבל ערכי $C_{V}$ מחושבים באמצעות קשרים אלו. ניתן לראות את היחסים בין קיבולי החום מגזירה של היחסים התרמודינמים בין קיבולי החום.

ההגדרה לעיל היא הגישה אשר שומשה לפיתוח ביטויים מחמירים מן משוואות המצב (כגון פנג–רובינסון), אשר תואמות ערכים ניסויים בקירוב טוב אשר מייתרים את הצורך לפתח מאגר נתונים של ערכי $C_{V}$. הערכים יכולים להיקבע על ידי שימוש בשיטת קירוב אלמנטים סופיים .

תהליך אדיאבטי

ערך מורחב – תהליך אדיאבטי

יחס זה נותן את הקשר החשוב עבור תהליך איזנטרופי (קוואזיסטטי, הפיך, תהליך אדיאבטי) של תהליך דחיסה פשוט עבור גז אידיאלי קלורית.

$pv^{\gamma }={\text{constant}}$

כאשר p הוא הלחץ, ו-v הוא נפח הגז הסגולי.

ראו גם

• קיבול חום
• אנתלפיה
• אנרגיה פנימית
• מהירות הקול
• תרמודינמיקה

לקריאה נוספת

1. Bejan, Adrian (2016). Advanced Engineering Thermodynamics (4 ed.). Wiley.
2. Cengel, Yunus A., & Boles, Michael A. (2002). Thermodynamics - an Engineering Approach. McGraw Hill. .
3. Dunning-Davies, Jeremy (1997). Concise Thermodynamics: Principles and Applications. Horwood Publishing.
4. Kroemer, Herbert & Kittel, Charles (1980). Thermal Physics. W. H. Freeman Company.